Тема про квадратные корни является обязательной в школьной программе курса математики. Без них не обойтись при решении квадратных уравнений. А позже появляется необходимость не только извлекать корни, но и выполнять с ними другие действия. Среди них достаточно сложные: возведение в степень, умножение и деление. Но есть и достаточно простые: вычитание и сложение корней. Кстати, они только на первый взгляд кажутся такими. Выполнить их без ошибок не всегда оказывается просто для того, кто только начинает с ними знакомиться.
Что такое математический корень?
Это действие возникло в противовес возведению в степень. Математика предполагает наличие двух противоположных операций. На сложение существует вычитание. Умножению противостоит деление. Обратное действие степени — это извлечение соответствующего корня.
Если в степени стоит двойка, то и корень будет квадратным. Он является самым распространенным в школьной математике. У него даже нет указания, что он квадратный, то есть возле него не приписывается цифра 2. Математическая запись этого оператора (радикала) представлена на рисунке.
Из описанного действия плавно вытекает его определение. Чтобы извлечь квадратный корень из некоторого числа, нужно выяснить, какое даст при умножении на себя подкоренное выражение. Это число и будет квадратным корнем. Если записать это математически, то получится следующее: х*х=х 2 =у, значит √у=х.
Какие действия с ними можно выполнять?
По своей сути корень — это дробная степень, у которой в числителе стоит единица. А знаменатель может быть любым. Например, у квадратного корня он равен двум. Поэтому все действия, которые можно выполнить со степенями, будут справедливы и для корней.
И требования к этим действиям у них одинаковые. Если умножение, деление и возведение в степень не встречают затруднений у учеников, то сложение корней, как и их вычитание, иногда приводит в замешательство. А все потому что хочется выполнить эти операции без оглядки на знак корня. И здесь начинаются ошибки.
По каким правилам выполняется их сложение и вычитание?
Сначала нужно запомнить два категорических «нельзя»:
- нельзя выполнять сложение и вычитание корней, как у простых чисел, то есть невозможно записать подкоренные выражения суммы под один знак и выполнять с ними математические операции;
- нельзя складывать и вычитать корни с разными показателями, например квадратный и кубический.
Наглядный пример первого запрета: √6 + √10 ≠ √16, но √(6 + 10) = √16 .
Во втором случае лучше ограничиться упрощением самих корней. А в ответе оставить их сумму.
Теперь к правилам
- Найти и сгруппировать подобные корни. То есть те, у которых не только стоят одинаковые числа под радикалом, но и они сами с одним показателем.
- Выполнить сложение корней, объединенных в одну группу первым действием. Оно легко осуществимо, потому что нужно только сложить значения, которые стоят перед радикалами.
- Извлечь корни в тех слагаемых, в которых подкоренное выражение образует целый квадрат. Другими словами, не оставлять ничего под знаком радикала.
- Упростить подкоренные выражения. Для этого нужно разложить их на простые множители и посмотреть, не дадут ли они квадрата какого-либо числа. Понятно, что это справедливо, если речь идет о квадратном корне. Когда показатель степени три или четыре, то и простые множители должны давать куб или четвертую степень числа.
- Вынести из-под знака радикала множитель, который дает целую степень.
- Посмотреть, не появилось ли опять подобных слагаемых. Если да, то снова выполнить второе действие.
В ситуации, когда задача не требует точного значения корня, его можно вычислить на калькуляторе. Бесконечную десятичную дробь, которая высветится в его окошке, округлить. Чаще всего это делают до сотых. А потом выполнять все операции для десятичных дробей.
Это вся информация о том, как выполняется сложение корней. Примеры, расположенные ниже, проиллюстрируют вышесказанное.
Первое задание
Вычислить значение выражений:
а) √2 + 3√32 + ½ √128 - 6√18;
б) √75 - √147 + √48 - 1/5 √300;
в) √275 - 10√11 + 2√99 + √396.
а) Если следовать приведенному выше алгоритму, то видно, что для первых двух действий в этом примере ничего нет. Зато можно упростить некоторые подкоренные выражения.
Например, 32 разложить на два множителя 2 и 16; 18 будет равно произведению 9 и 2; 128 — это 2 на 64. Учитывая это, выражение будет записано так:
√2 + 3√(2 * 16) + ½ √(2 * 64) - 6 √(2 * 9).
Теперь нужно вынести из-под знака радикала те множители, которые дают квадрат числа. Это 16=4 2 , 9=3 2 , 64=8 2 . Выражение примет вид:
√2 + 3 * 4√2 + ½ * 8 √2 - 6 * 3√2.
Нужно немного упростить запись. Для этого производится умножение коэффициентов перед знаками корня:
√2 + 12√2 + 4 √2 - 12√2.
В этом выражении все слагаемые оказались подобными. Поэтому их нужно просто сложить. В ответе получится: 5√2.
б) Подобно предыдущему примеру, сложение корней начинается с их упрощения. Подкоренные выражения 75, 147, 48 и 300 будут представлены такими парами: 5 и 25, 3 и 49, 3 и 16, 3 и 100. В каждой из них имеется число, которое можно вынести из-под знака корня:
5√5 - 7√3 + 4√3 - 1/5 * 10√3.
После упрощения получается ответ: 5√5 - 5√3. Его можно оставить в таком виде, но лучше вынести общий множитель 5 за скобку: 5 (√5 - √3).
в) И снова разложение на множители: 275 = 11 * 25, 99 = 11 * 9, 396 = 11 * 36. После вынесения множителей из-под знака корня имеем:
5√11 - 10√11 + 2 * 3√11 + 6√11. После приведения подобных слагаемых получим результат: 7√11.
Пример с дробными выражениями
√(45/4) - √20 - 5√(1/18) - 1/6 √245 + √(49/2).
На множители нужно будет разложить такие числа: 45 = 5 * 9, 20 = 4 * 5, 18 = 2 * 9, 245 = 5 * 49. Аналогично уже рассмотренным, нужно вынести множители из-под знака корня и упростить выражение:
3/2 √5 - 2√5 - 5/ 3 √(½) - 7/6 √5 + 7 √(½) = (3/2 - 2 - 7/6) √5 - (5/3 - 7) √(½) = - 5/3 √5 + 16/3 √(½).
Это выражение требует того, чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе. Для этого нужно умножить на √2/√2 второе слагаемое:
5/3 √5 + 16/3 √(½) * √2/√2 = - 5/3 √5 + 8/3 √2.
Для полноты действий нужно выделить целую часть у множителей перед корнями. У первого она равна 1, у второго — 2.
Приветствую, котаны! В прошлый раз мы подробно разобрали, что такое корни (если не помните, рекомендую почитать). Главный вывод того урока: существует лишь одно универсальное определение корней, которое вам и нужно знать. Остальное — брехня и пустая трата времени.
Сегодня мы идём дальше. Будем учиться умножать корни, изучим некоторые проблемы, связанные с умножением (если эти проблемы не решить, то на экзамене они могут стать фатальными) и как следует потренируемся. Поэтому запасайтесь попкорном, устраивайтесь поудобнее — и мы начинаем.:)
Вы ведь тоже ещё не вкурили?
Урок получился довольно большим, поэтому я разделил его на две части:
- Сначала мы разберём правила умножения. Кэп как бы намекает: это когда есть два корня, между ними стоит знак «умножить» — и мы хотим что-то с этим сделать.
- Затем разберём обратную ситуацию: есть один большой корень, а нам приспичило представить его в виде произведения двух корней попроще. С какого перепугу это бывает нужно — вопрос отдельный. Мы разберём лишь алгоритм.
Тем, кому не терпится сразу перейти ко второй части — милости прошу. С остальными начнём по порядку.
Основное правило умножения
Начнём с самого простого — классических квадратных корней. Тех самых, которые обозначаются $\sqrt{a}$ и $\sqrt{b}$. Для них всё вообще очевидно:
Правило умножения. Чтобы умножить один квадратный корень на другой, нужно просто перемножить их подкоренные выражения, а результат записать под общим радикалом:
\[\sqrt{a}\cdot \sqrt{b}=\sqrt{a\cdot b}\]
Никаких дополнительных ограничений на числа, стоящие справа или слева, не накладывается: если корни-множители существуют, то и произведение тоже существует.
Примеры. Рассмотрим сразу четыре примера с числами:
\[\begin{align} & \sqrt{25}\cdot \sqrt{4}=\sqrt{25\cdot 4}=\sqrt{100}=10; \\ & \sqrt{32}\cdot \sqrt{2}=\sqrt{32\cdot 2}=\sqrt{64}=8; \\ & \sqrt{54}\cdot \sqrt{6}=\sqrt{54\cdot 6}=\sqrt{324}=18; \\ & \sqrt{\frac{3}{17}}\cdot \sqrt{\frac{17}{27}}=\sqrt{\frac{3}{17}\cdot \frac{17}{27}}=\sqrt{\frac{1}{9}}=\frac{1}{3}. \\ \end{align}\]
Как видите, основной смысл этого правила — упрощение иррациональных выражений. И если в первом примере мы бы и сами извлекли корни из 25 и 4 без всяких новых правил, то дальше начинается жесть: $\sqrt{32}$ и $\sqrt{2}$ сами по себе не считаются, но их произведение оказывается точным квадратом, поэтому корень из него равен рациональному числу .
Отдельно хотел бы отметить последнюю строчку. Там оба подкоренных выражения представляют собой дроби. Благодаря произведению многие множители сокращаются, а всё выражение превращается в адекватное число.
Конечно, не всегда всё будет так красиво. Иногда под корнями будет стоять полная лажа — непонятно, что с ней делать и как преобразовывать после умножения. Чуть позже, когда начнёте изучать иррациональные уравнения и неравенства, там вообще будут всякие переменные и функции. И очень часто составители задач как раз и рассчитывают на то, что вы обнаружите какие-то сокращающиеся слагаемые или множители, после чего задача многократно упростится.
Кроме того, совсем необязательно перемножать именно два корня. Можно умножить сразу три, четыре — да хоть десять! Правило от этого не поменяется. Взгляните:
\[\begin{align} & \sqrt{2}\cdot \sqrt{3}\cdot \sqrt{6}=\sqrt{2\cdot 3\cdot 6}=\sqrt{36}=6; \\ & \sqrt{5}\cdot \sqrt{2}\cdot \sqrt{0,001}=\sqrt{5\cdot 2\cdot 0,001}= \\ & =\sqrt{10\cdot \frac{1}{1000}}=\sqrt{\frac{1}{100}}=\frac{1}{10}. \\ \end{align}\]
И опять небольшое замечание по второму примеру. Как видите, в третьем множителе под корнем стоит десятичная дробь — в процессе вычислений мы заменяем её обычной, после чего всё легко сокращается. Так вот: очень рекомендую избавляться от десятичных дробей в любых иррациональных выражениях (т.е. содержащих хотя бы один значок радикала). В будущем это сэкономит вам кучу времени и нервов.
Но это было лирическое отступление. Теперь рассмотрим более общий случай — когда в показателе корня стоит произвольное число $n$, а не только «классическая» двойка.
Случай произвольного показателя
Итак, с квадратными корнями разобрались. А что делать с кубическими? Или вообще с корнями произвольной степени $n$? Да всё то же самое. Правило остаётся прежним:
Чтобы перемножить два корня степени $n$, достаточно перемножить их подкоренные выражения, после чего результат записать под одним радикалом.
В общем, ничего сложного. Разве что объём вычислений может оказаться больше. Разберём парочку примеров:
Примеры. Вычислить произведения:
\[\begin{align} & \sqrt{20}\cdot \sqrt{\frac{125}{4}}=\sqrt{20\cdot \frac{125}{4}}=\sqrt{625}=5; \\ & \sqrt{\frac{16}{625}}\cdot \sqrt{0,16}=\sqrt{\frac{16}{625}\cdot \frac{16}{100}}=\sqrt{\frac{64}{{{25}^{2}}\cdot 25}}= \\ & =\sqrt{\frac{{{4}^{3}}}{{{25}^{3}}}}=\sqrt{{{\left(\frac{4}{25} \right)}^{3}}}=\frac{4}{25}. \\ \end{align}\]
И вновь внимание второе выражение. Мы перемножаем кубические корни, избавляемся от десятичной дроби и в итоге получаем в знаменателе произведение чисел 625 и 25. Это довольно большое число — лично я с ходу не посчитаю, чему оно равно.
Поэтому мы просто выделили точный куб в числителе и знаменателе, а затем воспользовались одним из ключевых свойств (или, если угодно — определением) корня $n$-й степени:
\[\begin{align} & \sqrt{{{a}^{2n+1}}}=a; \\ & \sqrt{{{a}^{2n}}}=\left| a \right|. \\ \end{align}\]
Подобные «махинации» могут здорово сэкономить вам время на экзамене или контрольной работе, поэтому запомните:
Не спешите перемножать числа в подкоренном выражении. Сначала проверьте: вдруг там «зашифрована» точная степень какого-либо выражения?
При всей очевидности этого замечания должен признать, что большинство неподготовленных учеников в упор не видят точные степени. Вместо этого они перемножают всё напролом, а затем удивляются: почему это получились такие зверские числа?:)
Впрочем, всё это детский лепет по сравнению с тем, что мы изучим сейчас.
Умножение корней с разными показателями
Ну хорошо, теперь мы умеем перемножать корни с одинаковыми показателями. А что, если показатели разные? Скажем, как умножить обычный $\sqrt{2}$ на какую-нибудь хрень типа $\sqrt{23}$? Можно ли вообще это делать?
Да конечно можно. Всё делается вот по этой формуле:
Правило умножения корней. Чтобы умножить $\sqrt[n]{a}$ на $\sqrt[p]{b}$, достаточно выполнить вот такое преобразование:
\[\sqrt[n]{a}\cdot \sqrt[p]{b}=\sqrt{{{a}^{p}}\cdot {{b}^{n}}}\]
Однако эта формула работает только при условии, что подкоренные выражения неотрицательны . Это очень важное замечание, к которому мы вернёмся чуть позже.
А пока рассмотрим парочку примеров:
\[\begin{align} & \sqrt{3}\cdot \sqrt{2}=\sqrt{{{3}^{4}}\cdot {{2}^{3}}}=\sqrt{81\cdot 8}=\sqrt{648}; \\ & \sqrt{2}\cdot \sqrt{7}=\sqrt{{{2}^{5}}\cdot {{7}^{2}}}=\sqrt{32\cdot 49}=\sqrt{1568}; \\ & \sqrt{5}\cdot \sqrt{3}=\sqrt{{{5}^{4}}\cdot {{3}^{2}}}=\sqrt{625\cdot 9}=\sqrt{5625}. \\ \end{align}\]
Как видите, ничего сложного. Теперь давайте разберёмся, откуда взялось требование неотрицательности, и что будет, если мы его нарушим.:)
Умножать корни несложно
Почему подкоренные выражения должны быть неотрицательными?
Конечно, можно уподобиться школьным учителям и с умным видом процитировать учебник:
Требование неотрицательности связано с разными определениями корней чётной и нечётной степени (соответственно, области определения у них тоже разные).
Ну что, стало понятнее? Лично я, когда читал этот бред в 8-м классе, понял для себя примерно следующее: «Требование неотрицательности связано с *#&^@(*#@^#)~%» — короче, я нихрена в тот раз не понял.:)
Поэтому сейчас объясню всё по-нормальному.
Сначала выясним, откуда вообще берётся формула умножения, приведённая выше. Для этого напомню одно важное свойство корня:
\[\sqrt[n]{a}=\sqrt{{{a}^{k}}}\]
Другими словами, мы можем спокойно возводить подкоренное выражение в любую натуральную степень $k$ — при этом показатель корня придётся умножить на эту же степень. Следовательно, мы легко сведём любые корни к общему показателю, после чего перемножим. Отсюда и берётся формула умножения:
\[\sqrt[n]{a}\cdot \sqrt[p]{b}=\sqrt{{{a}^{p}}}\cdot \sqrt{{{b}^{n}}}=\sqrt{{{a}^{p}}\cdot {{b}^{n}}}\]
Но есть одна проблема, которая резко ограничивает применение всех этих формул. Рассмотрим вот такое число:
Согласно только что приведённой формуле мы можем добавить любую степень. Попробуем добавить $k=2$:
\[\sqrt{-5}=\sqrt{{{\left(-5 \right)}^{2}}}=\sqrt{{{5}^{2}}}\]
Минус мы убрали как раз потому, что квадрат сжигает минус (как и любая другая чётная степень). А теперь выполним обратное преобразование: «сократим» двойку в показателе и степени. Ведь любое равенство можно читать как слева-направо, так и справа-налево:
\[\begin{align} & \sqrt[n]{a}=\sqrt{{{a}^{k}}}\Rightarrow \sqrt{{{a}^{k}}}=\sqrt[n]{a}; \\ & \sqrt{{{a}^{k}}}=\sqrt[n]{a}\Rightarrow \sqrt{{{5}^{2}}}=\sqrt{{{5}^{2}}}=\sqrt{5}. \\ \end{align}\]
Но тогда получается какая-то хрень:
\[\sqrt{-5}=\sqrt{5}\]
Этого не может быть, потому что $\sqrt{-5} \lt 0$, а $\sqrt{5} \gt 0$. Значит, для чётных степеней и отрицательных чисел наша формула уже не работает. После чего у нас есть два варианта:
- Убиться об стену констатировать, что математика — это дурацкая наука, где «есть какие-то правила, но это неточно»;
- Ввести дополнительные ограничения, при которых формула станет рабочей на 100%.
В первом варианте нам придётся постоянно вылавливать «неработающие» случаи — это трудно, долго и вообще фу. Поэтому математики предпочли второй вариант.:)
Но не переживайте! На практике это ограничение никак не влияет на вычисления, потому что все описанные проблемы касаются лишь корней нечётной степени, а из них можно выносить минусы.
Поэтому сформулируем ещё одно правило, которое распространяется вообще на все действия с корнями:
Прежде чем перемножать корни, сделайте так, чтобы подкоренные выражения были неотрицательны.
Пример. В числе $\sqrt{-5}$ можно вынести минус из-под знака корня — тогда всё будет норм:
\[\begin{align} & \sqrt{-5}=-\sqrt{5} \lt 0\Rightarrow \\ & \sqrt{-5}=-\sqrt{{{5}^{2}}}=-\sqrt{25}=-\sqrt{{{5}^{2}}}=-\sqrt{5} \lt 0 \\ \end{align}\]
Чувствуете разницу? Если оставить минус под корнем, то при возведении подкоренного выражения в квадрат он исчезнет, и начнётся хрень. А если сначала вынести минус, то можно хоть до посинения возводить/убирать квадрат — число останется отрицательным.:)
Таким образом, самый правильный и самый надёжный способ умножения корней следующий:
- Убрать все минусы из-под радикалов. Минусы бывают только в корнях нечётной кратности — их можно поставить перед корнем и при необходимости сократить (например, если этих минусов окажется два).
- Выполнить умножение согласно правилам, рассмотренным выше в сегодняшнем уроке. Если показатели корней одинаковые, просто перемножаем подкоренные выражения. А если разные — используем злобную формулу \[\sqrt[n]{a}\cdot \sqrt[p]{b}=\sqrt{{{a}^{p}}\cdot {{b}^{n}}}\].
- 3.Наслаждаемся результатом и хорошими оценками.:)
Ну что? Потренируемся?
Пример 1. Упростите выражение:
\[\begin{align} & \sqrt{48}\cdot \sqrt{-\frac{4}{3}}=\sqrt{48}\cdot \left(-\sqrt{\frac{4}{3}} \right)=-\sqrt{48}\cdot \sqrt{\frac{4}{3}}= \\ & =-\sqrt{48\cdot \frac{4}{3}}=-\sqrt{64}=-4; \end{align}\]
Это самое простой вариант: показатели корней одинаковы и нечётны, проблема лишь в минусе у второго множителя. Выносим этот минус нафиг, после чего всё легко считается.
Пример 2. Упростите выражение:
\[\begin{align} & \sqrt{32}\cdot \sqrt{4}=\sqrt{{{2}^{5}}}\cdot \sqrt{{{2}^{2}}}=\sqrt{{{\left({{2}^{5}} \right)}^{3}}\cdot {{\left({{2}^{2}} \right)}^{4}}}= \\ & =\sqrt{{{2}^{15}}\cdot {{2}^{8}}}=\sqrt{{{2}^{23}}} \\ \end{align}\]
Здесь многих смутило бы то, что на выходе получилось иррациональное число. Да, так бывает: мы не смогли полностью избавиться от корня, но по крайней мере существенно упростили выражение.
Пример 3. Упростите выражение:
\[\begin{align} & \sqrt{a}\cdot \sqrt{{{a}^{4}}}=\sqrt{{{a}^{3}}\cdot {{\left({{a}^{4}} \right)}^{6}}}=\sqrt{{{a}^{3}}\cdot {{a}^{24}}}= \\ & =\sqrt{{{a}^{27}}}=\sqrt{{{a}^{3\cdot 9}}}=\sqrt{{{a}^{3}}} \end{align}\]
Вот на это задание хотел бы обратить ваше внимание. Тут сразу два момента:
- Под корнем стоит не конкретное число или степень, а переменная $a$. На первый взгляд, это немного непривычно, но в действительности при решении математических задач чаще всего придётся иметь дело именно с переменными.
- В конце мы умудрились «сократить» показатель корня и степень в подкоренном выражении. Такое случается довольно часто. И это означает, что можно было существенно упростить вычисления, если не пользоваться основной формулой.
Например, можно было поступить так:
\[\begin{align} & \sqrt{a}\cdot \sqrt{{{a}^{4}}}=\sqrt{a}\cdot \sqrt{{{\left({{a}^{4}} \right)}^{2}}}=\sqrt{a}\cdot \sqrt{{{a}^{8}}} \\ & =\sqrt{a\cdot {{a}^{8}}}=\sqrt{{{a}^{9}}}=\sqrt{{{a}^{3\cdot 3}}}=\sqrt{{{a}^{3}}} \\ \end{align}\]
По сути, все преобразования выполнялись лишь со вторым радикалом. И если не расписывать детально все промежуточные шаги, то в итоге объём вычислений существенно снизится.
На самом деле мы уже сталкивались с подобным задание выше, когда решали пример $\sqrt{5}\cdot \sqrt{3}$. Теперь его можно расписать намного проще:
\[\begin{align} & \sqrt{5}\cdot \sqrt{3}=\sqrt{{{5}^{4}}\cdot {{3}^{2}}}=\sqrt{{{\left({{5}^{2}}\cdot 3 \right)}^{2}}}= \\ & =\sqrt{{{\left(75 \right)}^{2}}}=\sqrt{75}. \end{align}\]
Ну что ж, с умножением корней разобрались. Теперь рассмотрим обратную операцию: что делать, когда под корнем стоит произведение?
Теория
Сложение и вычитание корней изучается во вводном курсе математики. Будем считать, что читателю известно понятие степени.
Определение 1
Корень степени $n$ из действительного числа $a$ - это действительное число $b$, $n$-ая степень которого равна $a$: $b=\sqrt[n]a, b^n=a.$ Здесь $a$ - подкоренное выражение, $n$ - показатель корня, $b$ - значение корня. Знак корня называют радикалом.
Обратным действию извлечения корня является возведение в степень.
Основные действия с арифметическими корнями:
Рисунок 1. Основные действия с арифметическими корнями. Автор24 - интернет-биржа студенческих работ
Как мы видим, в перечисленных действиях нет формулы для сложения и вычитания. Эти действия с корнями производятся в виде преобразований. Для этих преобразований следует использовать формулы сокращённого умножения:
$(\sqrt a - \sqrt b)(\sqrt a + \sqrt b)=a-b;$
$(\sqrta-\sqrtb)(\sqrt{a^2}+\sqrt{ab}+\sqrt{b^2})=a-b;$
$(\sqrta+\sqrtb)(\sqrt{a^2}-\sqrt{ab}+\sqrt{b^2})=a+b;$
$a\sqrt a+b\sqrt b=(\sqrt a)^3+(\sqrt b)^3=(\sqrt a+\sqrt b)(a-\sqrt{ab}+b);$
$a\sqrt a-b\sqrt b=(\sqrt a)^3-(\sqrt b)^3=(\sqrt a-\sqrt b)(a+\sqrt{ab}+b).$
Стоит заметить, что действия сложения и вычитания встречаются в примерах иррациональных выражений: $ab\sqrt{m-n}; 1+\sqrt3.$
Примеры
Рассмотрим на примерах случаи, когда применимо "уничтожение" иррациональности в знаменателе. Когда в результате преобразований иррациональное выражение получилось и в числителе, и в знаменателе, то нужно "уничтожить" иррациональность в знаменателе.
Пример 1
$\frac{1}{\sqrt7-\sqrt6}=\frac{\sqrt7+\sqrt6}{(\sqrt7-\sqrt6)(\sqrt7+\sqrt6)}=\frac{\sqrt7+\sqrt6}{7-6}=\frac{\sqrt7+\sqrt6}{1}=\sqrt7+\sqrt6.$
В этом примере мы умножили числитель и знаменатель дроби на выражение, сопряженное знаменателю. Таким образом, в знаменателе выполнено преобразование по формуле разности квадратов.
Факт 1.
\(\bullet\)
Возьмем некоторое неотрицательное число \(a\)
(то есть \(a\geqslant 0\)
). Тогда (арифметическим) квадратным корнем
из числа \(a\)
называется такое неотрицательное число \(b\)
, при возведении которого в квадрат мы получим число \(a\)
: \[\sqrt a=b\quad \text{то же самое, что }\quad a=b^2\]
Из определения следует, что \(a\geqslant 0, b\geqslant 0\)
. Эти ограничения являются важным условием существования квадратного корня и их следует запомнить!
Вспомним, что любое число при возведении в квадрат дает неотрицательный результат. То есть \(100^2=10000\geqslant 0\)
и \((-100)^2=10000\geqslant 0\)
.
\(\bullet\)
Чему равен \(\sqrt{25}\)
? Мы знаем, что \(5^2=25\)
и \((-5)^2=25\)
. Так как по определению мы должны найти неотрицательное число, то \(-5\)
не подходит, следовательно, \(\sqrt{25}=5\)
(так как \(25=5^2\)
).
Нахождение значения \(\sqrt a\)
называется извлечением квадратного корня из числа \(a\)
, а число \(a\)
называется подкоренным выражением.
\(\bullet\)
Исходя из определения, выражения \(\sqrt{-25}\)
, \(\sqrt{-4}\)
и т.п. не имеют смысла.
Факт 2.
Для быстрых вычислений полезно будет выучить таблицу квадратов натуральных чисел от \(1\)
до \(20\)
: \[\begin{array}{|ll|}
\hline
1^2=1 & \quad11^2=121 \\
2^2=4 & \quad12^2=144\\
3^2=9 & \quad13^2=169\\
4^2=16 & \quad14^2=196\\
5^2=25 & \quad15^2=225\\
6^2=36 & \quad16^2=256\\
7^2=49 & \quad17^2=289\\
8^2=64 & \quad18^2=324\\
9^2=81 & \quad19^2=361\\
10^2=100& \quad20^2=400\\
\hline \end{array}\]
Факт 3.
Какие действия можно выполнять с квадратными корнями?
\(\bullet\)
Сумма или разность квадратных корней НЕ РАВНА квадратному корню из суммы или разности, то есть
\[\sqrt a\pm\sqrt b\ne \sqrt{a\pm b}\]
Таким образом, если вам нужно вычислить, например, \(\sqrt{25}+\sqrt{49}\)
, то первоначально вы должны найти значения \(\sqrt{25}\)
и \(\sqrt{49}\)
, а затем их сложить. Следовательно, \[\sqrt{25}+\sqrt{49}=5+7=12\]
Если значения \(\sqrt a\)
или \(\sqrt b\)
при сложении \(\sqrt
a+\sqrt b\)
найти не удается, то такое выражение дальше не преобразуется и остается таким, как есть. Например, в сумме \(\sqrt
2+ \sqrt {49}\)
мы можем найти \(\sqrt{49}\)
– это \(7\)
, а вот \(\sqrt
2\)
никак преобразовать нельзя, поэтому \(\sqrt 2+\sqrt{49}=\sqrt
2+7\)
. Дальше это выражение, к сожалению, упростить никак нельзя
\(\bullet\)
Произведение/частное квадратных корней равно квадратному корню из произведения/частного, то есть \[\sqrt a\cdot \sqrt b=\sqrt{ab}\quad \text{и}\quad
\sqrt a:\sqrt b=\sqrt{a:b}\]
(при условии, что обе части равенств имеют смысл
)
Пример: \(\sqrt{32}\cdot \sqrt 2=\sqrt{32\cdot
2}=\sqrt{64}=8\)
;
\(\sqrt{768}:\sqrt3=\sqrt{768:3}=\sqrt{256}=16\)
;
\(\sqrt{(-25)\cdot (-64)}=\sqrt{25\cdot 64}=\sqrt{25}\cdot \sqrt{64}=
5\cdot 8=40\)
.
\(\bullet\)
Пользуясь этими свойствами, удобно находить квадратные корни из больших чисел путем разложения их на множители.
Рассмотрим пример. Найдем \(\sqrt{44100}\)
. Так как \(44100:100=441\)
, то \(44100=100\cdot 441\)
. По признаку делимости число \(441\)
делится на \(9\)
(так как сумма его цифр равна 9 и делится на 9), следовательно, \(441:9=49\)
, то есть \(441=9\cdot 49\)
.
Таким образом, мы получили: \[\sqrt{44100}=\sqrt{9\cdot 49\cdot 100}=
\sqrt9\cdot \sqrt{49}\cdot \sqrt{100}=3\cdot 7\cdot 10=210\]
Рассмотрим еще один пример: \[\sqrt{\dfrac{32\cdot 294}{27}}=
\sqrt{\dfrac{16\cdot 2\cdot 3\cdot 49\cdot 2}{9\cdot 3}}= \sqrt{
\dfrac{16\cdot4\cdot49}{9}}=\dfrac{\sqrt{16}\cdot \sqrt4 \cdot
\sqrt{49}}{\sqrt9}=\dfrac{4\cdot 2\cdot 7}3=\dfrac{56}3\]
\(\bullet\)
Покажем, как вносить числа под знак квадратного корня на примере выражения \(5\sqrt2\)
(сокращенная запись от выражения \(5\cdot
\sqrt2\)
). Так как \(5=\sqrt{25}\)
, то \
Заметим также, что, например,
1) \(\sqrt2+3\sqrt2=4\sqrt2\)
,
2) \(5\sqrt3-\sqrt3=4\sqrt3\)
3) \(\sqrt a+\sqrt a=2\sqrt a\)
.
Почему так? Объясним на примере 1). Как вы уже поняли, как-то преобразовать число \(\sqrt2\) мы не можем. Представим, что \(\sqrt2\) – это некоторое число \(a\) . Соответственно, выражение \(\sqrt2+3\sqrt2\) есть не что иное, как \(a+3a\) (одно число \(a\) плюс еще три таких же числа \(a\) ). А мы знаем, что это равно четырем таким числам \(a\) , то есть \(4\sqrt2\) .
Факт 4.
\(\bullet\)
Часто говорят “нельзя извлечь корень”, когда не удается избавиться от знака \(\sqrt {} \ \)
корня (радикала) при нахождении значения какого-то числа. Например, извлечь корень из числа \(16\)
можно, потому что \(16=4^2\)
, поэтому \(\sqrt{16}=4\)
. А вот извлечь корень из числа \(3\)
, то есть найти \(\sqrt3\)
, нельзя, потому что нет такого числа, которое в квадрате даст \(3\)
.
Такие числа (или выражения с такими числами) являются иррациональными. Например, числа \(\sqrt3, \ 1+\sqrt2, \ \sqrt{15}\)
и т.п. являются иррациональными.
Также иррациональными являются числа \(\pi\)
(число “пи”, приблизительно равное \(3,14\)
), \(e\)
(это число называют числом Эйлера, приблизительно оно равно \(2,7\)
) и т.д.
\(\bullet\)
Обращаем ваше внимание на то, что любое число будет либо рациональным, либо иррациональным. А вместе все рациональные и все иррациональные числа образуют множество, называющееся множеством действительных (вещественных) чисел.
Обозначается это множество буквой \(\mathbb{R}\)
.
Значит, все числа, которые на данный момент мы знаем, называются вещественными числами.
Факт 5.
\(\bullet\)
Модуль вещественного числа \(a\)
– это неотрицательное число \(|a|\)
, равное расстоянию от точки \(a\)
до \(0\)
на вещественной прямой. Например, \(|3|\)
и \(|-3|\)
равны 3, так как расстояния от точек \(3\)
и \(-3\)
до \(0\)
одинаковы и равны \(3\)
.
\(\bullet\)
Если \(a\)
– неотрицательное число, то \(|a|=a\)
.
Пример: \(|5|=5\)
; \(\qquad |\sqrt2|=\sqrt2\)
.
\(\bullet\)
Если \(a\)
– отрицательное число, то \(|a|=-a\)
.
Пример: \(|-5|=-(-5)=5\)
; \(\qquad |-\sqrt3|=-(-\sqrt3)=\sqrt3\)
.
Говорят, что у отрицательных чисел модуль “съедает” минус, а положительные числа, а также число \(0\)
, модуль оставляет без изменений.
НО
такое правило годится только для чисел. Если у вас под знаком модуля находится неизвестная \(x\)
(или какая-то другая неизвестная), например, \(|x|\)
, про которую мы не знаем, положительная она, равна нулю или отрицательная, то избавиться от модуля мы не можем. В этом случае это выражение таким и остается: \(|x|\)
.
\(\bullet\)
Имеют место следующие формулы: \[{\large{\sqrt{a^2}=|a|}}\]
\[{\large{(\sqrt{a})^2=a}},
\text{ при условии } a\geqslant 0\]
Очень часто допускается такая ошибка: говорят, что \(\sqrt{a^2}\)
и \((\sqrt a)^2\)
– одно и то же. Это верно только в том случае, когда \(a\)
– положительное число или ноль. А вот если \(a\)
– отрицательное число, то это неверно. Достаточно рассмотреть такой пример. Возьмем вместо \(a\)
число \(-1\)
. Тогда \(\sqrt{(-1)^2}=\sqrt{1}=1\)
, а вот выражение \((\sqrt {-1})^2\)
вообще не существует (ведь нельзя под знак корня помещать отрицательные числа!).
Поэтому обращаем ваше внимание на то, что \(\sqrt{a^2}\)
не равен \((\sqrt a)^2\)
!
Пример: 1) \(\sqrt{\left(-\sqrt2\right)^2}=|-\sqrt2|=\sqrt2\)
, т.к. \(-\sqrt2<0\)
;
\(\phantom{00000}\)
2) \((\sqrt{2})^2=2\)
.
\(\bullet\)
Так как \(\sqrt{a^2}=|a|\)
, то \[\sqrt{a^{2n}}=|a^n|\]
(выражение \(2n\)
обозначает четное число)
То есть при извлечении корня из числа, находящегося в какой-то степени, эта степень уменьшается в два раза.
Пример:
1) \(\sqrt{4^6}=|4^3|=4^3=64\)
2) \(\sqrt{(-25)^2}=|-25|=25\)
(заметим, что если модуль не поставить, то получится, что корень из числа равен \(-25\)
; но мы помним, что по определению корня такого быть не может: у нас всегда при извлечении корня должно получаться положительное число или ноль)
3) \(\sqrt{x^{16}}=|x^8|=x^8\)
(так как любое число в четной степени неотрицательно)
Факт 6.
Как сравнить два квадратных корня?
\(\bullet\)
Для квадратных корней верно: если \(\sqrt a<\sqrt b\)
, то \(a
1) сравним \(\sqrt{50}\)
и \(6\sqrt2\)
. Для начала преобразуем второе выражение в \(\sqrt{36}\cdot \sqrt2=\sqrt{36\cdot 2}=\sqrt{72}\)
. Таким образом, так как \(50<72\)
, то и \(\sqrt{50}<\sqrt{72}\)
. Следовательно, \(\sqrt{50}<6\sqrt2\)
.
2) Между какими целыми числами находится \(\sqrt{50}\)
?
Так как \(\sqrt{49}=7\)
, \(\sqrt{64}=8\)
, а \(49<50<64\)
, то \(7<\sqrt{50}<8\)
, то есть число \(\sqrt{50}\)
находится между числами \(7\)
и \(8\)
.
3) Сравним \(\sqrt 2-1\)
и \(0,5\)
. Предположим, что \(\sqrt2-1>0,5\)
: \[\begin{aligned}
&\sqrt 2-1>0,5 \ \big| +1\quad \text{(прибавим единицу к обеим
частям)}\\
&\sqrt2>0,5+1 \ \big| \ ^2 \quad\text{(возведем обе части в
квадрат)}\\
&2>1,5^2\\
&2>2,25 \end{aligned}\]
Видим, что мы получили неверное неравенство. Следовательно, наше предположение было неверным и \(\sqrt 2-1<0,5\)
.
Заметим, что прибавление некоторого числа к обеим частям неравенства не влияет на его знак. Умножение/деление обеих частей неравенства на положительное число также не влияет на его знак, а умножение/деление на отрицательное число меняет знак неравенства на противоположный!
Возводить обе части уравнения/неравенства в квадрат можно ТОЛЬКО ТОГДА, когда обе части неотрицательные. Например, в неравенстве из предыдущего примера возводить обе части в квадрат можно, в неравенстве \(-3<\sqrt2\)
нельзя (убедитесь в этом сами)!
\(\bullet\)
Следует запомнить, что \[\begin{aligned}
&\sqrt 2\approx 1,4\\
&\sqrt 3\approx 1,7 \end{aligned}\]
Знание приблизительного значения данных чисел поможет вам при сравнении чисел!
\(\bullet\)
Для того, чтобы извлечь корень (если он извлекается) из какого-то большого числа, которого нет в таблице квадратов, нужно сначала определить, между какими “сотнями” оно находится, затем – между какими “десятками”, а потом уже определить последнюю цифру этого числа. Покажем, как это работает, на примере.
Возьмем \(\sqrt{28224}\)
. Мы знаем, что \(100^2=10\,000\)
, \(200^2=40\,000\)
и т.д. Заметим, что \(28224\)
находится между \(10\,000\)
и \(40\,000\)
. Следовательно, \(\sqrt{28224}\)
находится между \(100\)
и \(200\)
.
Теперь определим, между какими “десятками” находится наше число (то есть, например, между \(120\)
и \(130\)
). Также из таблицы квадратов знаем, что \(11^2=121\)
, \(12^2=144\)
и т.д., тогда \(110^2=12100\)
, \(120^2=14400\)
, \(130^2=16900\)
, \(140^2=19600\)
, \(150^2=22500\)
, \(160^2=25600\)
, \(170^2=28900\)
. Таким образом, мы видим, что \(28224\)
находится между \(160^2\)
и \(170^2\)
. Следовательно, число \(\sqrt{28224}\)
находится между \(160\)
и \(170\)
.
Попробуем определить последнюю цифру. Давайте вспомним, какие однозначные числа при возведении в квадрат дают на конце \(4\)
? Это \(2^2\)
и \(8^2\)
. Следовательно, \(\sqrt{28224}\)
будет заканчиваться либо на 2, либо на 8. Проверим это. Найдем \(162^2\)
и \(168^2\)
:
\(162^2=162\cdot 162=26224\)
\(168^2=168\cdot 168=28224\)
.
Следовательно, \(\sqrt{28224}=168\)
. Вуаля!
Для того чтобы достойно решить ЕГЭ по математике, прежде всего необходимо изучить теоретический материал, который знакомит с многочисленными теоремами, формулами, алгоритмами и т. д. На первый взгляд может показаться, что это довольно просто. Однако найти источник, в котором теория для ЕГЭ по математике изложена легко и понятно для учащихся с любым уровнем подготовки, - на деле задача довольно сложная. Школьные учебники невозможно всегда держать под рукой. А найти основные формулы для ЕГЭ по математике бывает непросто даже в Интернете.
Почему так важно изучать теорию по математике не только для тех, кто сдает ЕГЭ?
- Потому что это расширяет кругозор . Изучение теоретического материала по математике полезно для всех, кто желает получить ответы на широкий круг вопросов, связанных с познанием окружающего мира. Все в природе упорядоченно и имеет четкую логику. Именно это и отражается в науке, через которую возможно понять мир.
- Потому что это развивает интеллект . Изучая справочные материалы для ЕГЭ по математике, а также решая разнообразные задачи, человек учится логически мыслить и рассуждать, грамотно и четко формулировать мысли. У него вырабатывается способность анализировать, обобщать, делать выводы.
Предлагаем вам лично оценить все преимущества нашего подхода к систематизации и изложению учебных материалов.
В математике корни могут быть квадратными, кубическими или иметь любой другой показатель (степень), который пишется слева над знаком корня. Выражение, стоящее под знаком корня, называется подкоренным выражением. Сложение корней похоже на сложение членов алгебраического выражения, то есть требует определения подобных корней.
Шаги
Часть 1 из 2: Определение корнейОбозначение корней. Выражение под знаком корня () означает, что из этого выражения необходимо извлечь корень определенной степени.
- Корень обозначают знаком.
- Показатель (степень) корня пишется слева над знаком корня. Например, кубический корень из 27 записывается так: (27)
- Если показатель (степень) корня отсутствует, то показатель считается равным 2, то есть это квадратный корень (или корень второй степени).
- Число, записанное перед знаком корня, называется множителем (то есть это число умножается на корень), например 5 (2)
- Если множителя перед корнем нет, то он равен 1 (напомним, что любое число, умноженное на 1, равняется самому себе).
- Если вы впервые работаете с корнями, сделайте соответствующие пометки над множителем и показателем корня, чтобы не запутаться и лучше понять их назначение.
Запомните, какие корни можно складывать, а какие нельзя. Так же, как нельзя складывать разные члены выражения, например, 2а + 2b 4ab, вы не можете складывать разные корни.
Определите и сгруппируйте подобные корни.
Подобные корни – корни, у которых одинаковые показатели и одинаковые подкоренные выражения. Например, рассмотрим выражение:
2 (3) + (81) + 2 (50) + (32) + 6 (3)
- Во-первых, перепишите выражение так, чтобы корни с одинаковым показателем располагались последовательно.
2 (3) + 2 (50) + (32) + 6 (3) + (81) - Затем перепишите выражение так, чтобы корни с одинаковым показателем и с одинаковым подкоренным выражением располагались последовательно.
2 (50) + (32) + 2 (3) + 6 (3) + (81)
Упростите корни. Для этого разложите (где возможно) подкоренные выражения на два множителя, один из которых вынесите из-под корня. В этом случае вынесенное число и множитель корня перемножаются.
Сложите множители подобных корней. В нашем примере есть подобные квадратные корни из 2 (их можно сложить) и подобные квадратные корни из 3 (их тоже можно сложить). У кубического корня из 3 подобных корней нет.
- Не существует общепринятых правил порядка записи корней в выражении. Потому вы можете записывать корни в порядке возрастания их показателей и в порядке возрастания подкоренных выражений.
Внимание, только СЕГОДНЯ!
Все интересное
Число, которое находится под знаком корня, часто мешает решению уравнения, с ним неудобно работать. Даже если оно возведено в степень, дробно или не может быть представлено в виде целого числа в определенной степени, можно попытаться вывести его из…
Корнем из числа x называется такое число, которое при возведении в степень корня будет равно x. Множителем называется умножаемое число. То есть, в выражении вида x*ª-&radic-y нужно внести x под корень. Инструкция 1Определите степень…
Если подкоренное выражение содержит набор математических действий с переменными, то иногда в результате его упрощения есть возможность получить относительно простое значение, часть которого можно вынести из под корня. Бывает полезно такое упрощение…
Арифметические действия с корнями различной степени могут значительно упростить расчеты в физике и технике и сделать их более точными. При умножении и делении удобнее не извлекать корень из каждого сомножителя или делимого и делителя, а сначала…
Квадратным корнем из числа x называют число a, которое при умножении само на себя дает число x: a * a = a^2 = x, x = a. Как и над любыми числами, над квадратными корнями можно выполнять арифметические операции сложения и вычитания. Инструкция …
Корень в математике может иметь два значения: это арифметическое действие и каждое из решений уравнения, алгебраического, параметрического, дифференциального или любого другого. Инструкция 1Корень n-ной степени из числа a - это такое число, что…
При выполнении различных арифметических действий с корнями часто бывает необходимо умение преобразовывать подкоренные выражения. Для упрощения расчетов может понадобиться вынести множитель за знак радикала или внести под него. Это действие можно…
Корнем называют значок, обозначающий математическую операцию нахождения такого числа, возведение которого в указанную перед знаком корня степень должно дать число, указанное под этим самым знаком. Часто для решения задач, в которых присутствуют…
Знаком корня в математических науках называется условное обозначение для корней. Число, находящееся под знаком корня, называется подкоренным выражением. При отсутствии показателя степени корень является квадратным, в противном случае цифра указывает…
Арифметическим корнем n-й степени из действительного числа a называют такое неотрицательное число x, n-я степень которого равна числу a. Т.е. (n) a = x, x^n = a. Существуют различные способы сложения арифметического корня и рационального числа.…
Корнем n-ой степени из действительного числа a называется такое число b, для которого выполняется равенство b^n = a. Корни нечетной степени существуют для отрицательных и положительных чисел, а корни четной степени - только для положительных.…
